【題目】在數(shù)列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+2= (k∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求滿足2an+1=an+an+2的正整數(shù)n的值;
(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 問是否存在正整數(shù)m,n,使得S2n=mS2n﹣1?若存在,求出所有的正整數(shù)對(duì)(m,n);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:由a1=1,a2=2,an+2= (k∈N*).可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列;偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列.
∴對(duì)任意正整數(shù)k,a2k﹣1=1+2(k﹣1)=2k﹣1;a2k=2×3k﹣1.
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= ,k∈N*
(2)解:①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),由2an+1=an+an+2可得: =n+n+2,化為: =n+1,
令f(x)=2× ﹣x﹣1(x≥1),
由f′(x)= × ×ln ﹣1≥ ﹣1=ln3﹣1>0,
可知f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)≥f(1)=0,
∴當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),滿足 =n+1,即2a2=a1+a3.
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),由2an+1=an+an+2可得:2(n+1)=2 +2× ,
化為:n+1= + ,
上式左邊為奇數(shù),右邊為偶數(shù),因此不成立.
綜上,滿足2an+1=an+an+2的正整數(shù)n的值只有1
(3)解:S2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+a4+…+a2n)= + =3n+n2﹣1,n∈N*.
S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1.
假設(shè)存在正整數(shù)m,n,使得S2n=mS2n﹣1,
則3n+n2﹣1=m(3n﹣1+n2﹣1),
∴3n﹣1(3﹣m)=(m﹣1)(n2﹣1),(*)
從而3﹣m≥0,∴m≤3,
又m∈N*,∴m=1,2,3.
①當(dāng)m=1時(shí),(*)式左邊大于0,右邊等于0,不成立.
②當(dāng)m=3時(shí),(*)式左邊等于0,∴2(n2﹣1)=0,解得n=1,∴S2=3S1.
③當(dāng)m=2時(shí),(*)式可化為3n﹣1=(n+1)(n﹣1),
則存在k1,k2∈N*,k1<k2,使得n﹣1= ,n+1= ,且k1+k2=n﹣1,
從而 = =2,∴ ﹣ =2, =1,
∴k1=0,k2﹣k1=1,于是n=2,S4=2S3.
綜上可知,符合條件的正整數(shù)對(duì)(m,n)只有兩對(duì):(2,2),(3,1)
【解析】(1)由題意可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列;偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列.分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(2)①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),由2an+1=an+an+2可得: =n+n+2,化為: =n+1,令f(x)=2× ﹣x﹣1(x≥1),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),由2an+1=an+an+2可得:2(n+1)=2 +2× ,化為:n+1= + ,即可判斷出不成立.(3)S2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+a4+…+a2n)=3n+n2﹣1,n∈N* . S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1.假設(shè)存在正整數(shù)m,n,使得S2n=mS2n﹣1 , 化為3n﹣1(3﹣m)=(m﹣1)(n2﹣1),可得1,2,3.分類討論即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí),掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系,以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)椋?/span> )
A.(﹣∞,11)
B.(1,11]
C.(1,11)
D.(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),且f(x)+g(x)=2log2(1﹣x).
(1)求f(x)及g(x)的解析式;
(2)求g(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+2ax+b , 且 , .
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(n)=2n+1(n∈N*),集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},記f(A)={n|f(n)∈A},f(B)={m|f(m)∈B},f(A)∩f(B)=( )
A.{1,2}
B.{1,2,3}
C.{3,5}
D.{3,5,7}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題:
①已知M={(x,y)| =3},N={(x,y)|ax+2y+a=0}且M∩N=,則a=﹣6;
②已知點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),則以AB為直徑的圓的方程是(x﹣x1)(x﹣x2)+(y﹣y1)(y﹣y2)=0;
③ =1(a≠b)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
④已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1 , y2),B(x2 , y2),則 =﹣4
其中的真命題是 . (把你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P是曲線C: ﹣y2=1上的任意一點(diǎn),直線l:x=2與雙曲線C的漸近線交于A,B兩點(diǎn),若 =λ +μ ,(λ,μ∈R,O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則下列不等式恒成立的是( )
A.λ2+μ2≥
B.λ2+μ2≥2
C.λ2+μ2≤
D.λ2+μ2≤2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是( )
A.f(x)= ,g(x)=( )2
B.f(x)=1,g(x)=x2
C.f(x)= ,g(t)=|t|
D.f(x)=x+1,g(x)=
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