Question

13．求函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的值域，單調(diào)性，奇偶性，反函數(shù)．

Answer 1

分析 先分析真數(shù)部分（內(nèi)函數(shù)）的值域和單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的值域，單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶的定義，可判斷出函數(shù)的奇偶性，再用y表示出x，進(jìn)而可得函數(shù)的反函數(shù)．

解答 解：令t=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$，則t′=1+$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
當(dāng)x≥0時，t′≥1，當(dāng)x＜0時，$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＞-1，t′＞0，
故t=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$在R上為增函數(shù)，當(dāng)x→-∞時，t→0，當(dāng)x→+∞時，t→+∞，
即t∈（0，+∞），
故函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的值域?yàn)镽；
在R上為增函數(shù)，
又由f（-x）+f（x）=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg1=0得：f（-x）=-f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)，
令y=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
則x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$=10^y，
則x=$\frac{1}{2}$•（10^y-10^-y），
故函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的反函數(shù)f^-1（x）=$\frac{1}{2}$（10^x-10^-x）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反函數(shù)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．