Question

18．已知函數(shù)f（x）=-2x²+4mx-1
（1）若m=2，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$的最大值
（2）若對(duì)于任意的x∈[-1，1]，y=f（x）的最大值為7，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若m=2，$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$=-（2sinθ+$\frac{1}{sinθ}$）+8，利用基本不等式，即可求$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$的最大值
（2）若對(duì)于任意的x∈[-1，1]，y=f（x）的最大值為7，分類(lèi)討論，建立方程，即可求m的值．

解答 解：（1）m=2，f（x）=-2x²+8x-1
∴$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$=-（2sinθ+$\frac{1}{sinθ}$）+8，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ＞0，$\frac{1}{sinθ}$＞0，
∴2sinθ+$\frac{1}{sinθ}$≥2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$≤-2$\sqrt{2}$+8，
∴$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$的最大值為-2$\sqrt{2}$+8；
（2）函數(shù)f（x）=-2x²+4mx-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=m，
m＜-1，y=f（x）的最大值為f（-1）=-2-4m-1=7，∴m=-2.5；
m＞1，y=f（x）的最大值為f（1）=-2+4m-1=7，∴m=2.5；
-1≤m≤1，y=f（x）的最大值為f（m）=2m²-1=7，∴m=±2（舍去）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最大值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．