Question

19．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，且$\frac{S_4}{S_8}=\frac{1}{17}$，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{31}{16}$或$\frac{11}{16}$
• B． $\frac{11}{16}$或$\frac{21}{16}$
• C． $\frac{11}{16}$
• D． $\frac{31}{16}$

Answer 1

分析 由已知式子可得數(shù)列{a_n}的公比，進(jìn)而可得等比數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的首項(xiàng)為1，公比為±$\frac{1}{2}$，由求和公式可得．

解答 解：∵$\frac{S_4}{S_8}=\frac{1}{17}$，∴S₈=17S₄，
∴$\frac{{S}_{8}-{S}_{4}}{{S}_{4}}$=16，∴公比q滿足q⁴=16，
∴q=2或q=-2，
∴等比數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的首項(xiàng)為1，公比為±$\frac{1}{2}$，
當(dāng)公比為$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項(xiàng)和為$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{5}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{16}$；
當(dāng)公比為-$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項(xiàng)和為$\frac{1×（1+\frac{1}{{2}^{5}}）}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{11}{16}$
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及分類討論的思想，屬中檔題．