Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+$\frac{1}{12}$（a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=-1，求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜$\frac{2}{3}$x³．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)$F（x）=\frac{2}{3}{x^3}-（\frac{1}{2}{x^2}+lnx+\frac{1}{12}）$，證明F（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定義域?yàn)閤＞0…（1分）
$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{x-{a^2}}}{x}（x＞0）$…（2分）
若a≤0時(shí)，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，+∞）…（4分）
若a＞0時(shí)，令f'（x）＞0，得$x＞\sqrt{a}$…（5分）
即f（x）的單調(diào)區(qū)間為$（\sqrt{a}，+∞）$，減區(qū)間為$（0，\sqrt{a}）$…（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)$F（x）=\frac{2}{3}{x^3}-（\frac{1}{2}{x^2}+lnx+\frac{1}{12}）$…（7分）
則$F'（x）=2{x^2}-x-\frac{1}{x}=\frac{{（x-1）（2{x^2}+x+1）}}{x}$…（8分）
∴F（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，且$F（1）=\frac{1}{12}＞0$…（10分）
即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立…（11分）
∴當(dāng)x＞1，$\frac{1}{2}{x^2}+lnx+\frac{1}{12}＜\frac{2}{3}{x^3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．