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已知在數列{an}中,a1=a,a2=b,前n項的和Sn滿足等式Sn+2-(1+r)Sn+1+rSn=0(n≥1),其中a,b,r均為非零整數.
(1)求{an}為常數列的充要條件;
(2)求{an}為等比數列的充要條件.
考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷,等比關系的確定
專題:等差數列與等比數列,簡易邏輯
分析:(1)若{an}為常數列,則Sn=na1=na,結合等式Sn+2-(1+r)Sn+1+rSn=0可得:r=1,a=b,反之當r=1,a=b時,可得{an}為常數列,進而得到{an}為常數列的充要條件;
(2)若{an}為公比為1的等比的數列,則{an}為常數列,由(1)得r=1,a=b,若{an}為公比不為1的等比的數列,可得
b
a
=r,反之當
b
a
=r時,可得{an}為等比數列,進而得到{an}為等比數列的充要條件.
解答: 解:(1)若{an}為常數列,則Sn=na1=na,
則等式Sn+2-(1+r)Sn+1+rSn=0可化為:a(1-r)=0,
∵a,b,r均為非零整數.
故r=1,a=b,
若r=1,則Sn+2-2Sn+1+Sn=0,
即an+2-an+1=0,(n≥1),
若a=b,則an=a恒成立,故{an}為常數列,
綜上所述,{an}為常數列的充要條件為:a=b,且r=1;
(2)若{an}為公比為1的等比的數列,則{an}為常數列,由(1)得r=1,a=b,
若{an}為公比不為1的等比的數列,
則等式Sn+2-(1+r)Sn+1+rSn=0可化為:
an+2
an+1
=r,(n≥1),
b
a
=r時,{an}為公比為r等比數列,
即{an}為等比數列時,
b
a
=r,
b
a
=r時,由Sn+2-(1+r)Sn+1+rSn=0可得:
an+2
an+1
=r,(n≥1),
此時
an+1
an
=r恒成立,故{an}為等比數列.
綜上所述,{an}為等比數列的充要條件為
b
a
=r.
點評:本題以充要條件為載體考查了等比數列的定義,判斷方法,綜合性強,轉化困難,屬于難題.
練習冊系列答案
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下列關系正確的是(  )
A、a={a}
B、{a}∈{a,b}
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62
13
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2
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2
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OA
|=2,|
OB
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OP
=x
OA
+y
OB
,若點P在△MON內(含邊界),則在下列關于x,y的式子①y-x≥0; ②0≤x+y≤1; ③2x-y≤0; ④0≤x≤
1
2
,0≤y≤
2
3
中,正確的是
 
 (請?zhí)顚懰姓_式子的番號)

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x≥0
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,若目標函數z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為1,則log2
1
a
+
2
b
)的最小值為(  )
A、2
B、4
C、
1
2
D、3

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