Question

已知在數列{a_n}中，a₁=a，a₂=b，前n項的和S_n滿足等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0（n≥1），其中a，b，r均為非零整數．
（1）求{a_n}為常數列的充要條件；
（2）求{a_n}為等比數列的充要條件．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列,簡易邏輯

分析：（1）若{a_n}為常數列，則S_n=na₁=na，結合等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可得：r=1，a=b，反之當r=1，a=b時，可得{a_n}為常數列，進而得到{a_n}為常數列的充要條件；
（2）若{a_n}為公比為1的等比的數列，則{a_n}為常數列，由（1）得r=1，a=b，若{a_n}為公比不為1的等比的數列，可得

b

a

=r，反之當

b

a

=r時，可得{a_n}為等比數列，進而得到{a_n}為等比數列的充要條件．

解答： 解：（1）若{a_n}為常數列，則S_n=na₁=na，
則等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可化為：a（1-r）=0，
∵a，b，r均為非零整數．
故r=1，a=b，
若r=1，則S_n+2-2S_n+1+S_n=0，
即a_n+2-a_n+1=0，（n≥1），
若a=b，則a_n=a恒成立，故{a_n}為常數列，
綜上所述，{a_n}為常數列的充要條件為：a=b，且r=1；
（2）若{a_n}為公比為1的等比的數列，則{a_n}為常數列，由（1）得r=1，a=b，
若{a_n}為公比不為1的等比的數列，
則等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可化為：

an+2

an+1

=r，（n≥1），
當

b

a

=r時，{a_n}為公比為r等比數列，
即{a_n}為等比數列時，

b

a

=r，
若

b

a

=r時，由S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可得：

an+2

an+1

=r，（n≥1），
此時

an+1

an

=r恒成立，故{a_n}為等比數列．
綜上所述，{a_n}為等比數列的充要條件為

b

a

=r．

點評：本題以充要條件為載體考查了等比數列的定義，判斷方法，綜合性強，轉化困難，屬于難題．