Question

己知∠AOB為銳角，|

OA

|=2，|

OB

|=1，OM平分∠AOB，M在線段AB上，點N為線段AB的中點，

OP

=x

OA

+y

OB

，若點P在△MON內（含邊界），則在下列關于x，y的式子①y-x≥0； ②0≤x+y≤1； ③2x-y≤0； ④0≤x≤

1

2

，0≤y≤

2

3

中，正確的是

 

 （請?zhí)顚懰�有正確式子的番號）

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：利用向量共線定理，及三角形法則，將向量

OP

用

OA

，

OB

表示出來，則

OA

，

OB

的系數(shù)對應等于x，y．由此即可解題．

解答： 解：設線段OP與AB的交點為C，
則由向量共線定理知：存在實數(shù)λ，使得

OP

=λ

OC

其中0≤λ≤1，
∴

OP

=λ

OC

=λ（

OA

+

OC

）
∵

AC

，

AB

共線，
∴存在實數(shù)μ，使得

AC

=μ

AB

，
∵N為BC的中點，
∴μ＞

1

2

；
又∵|

OA

|=2，|

OB

|=1，OM平分∠AOB，
∴由正弦定理知，AM=2BM，
∴AC≤AM=

2

3

AB，
故

1

2

≤μ≤

2

3

，
∴

OP

=λ

OA

+λμ

AB

=λ

OA

+λμ（（

OB

-

OA

）=λ（1-μ）

OA

+λμ

OB

，
∴x=λ（1-μ），y=λμ
又∵λ＞0，
∴0≤x≤

1

2

，0≤y≤

2

3

，y-x=λ（2μ-1）≤0；x+y=λ（1-μ）+λμ=λ，2x-y=λ（2-3μ）≥0．
故答案為：②④

點評：本題主要考察了平面向量的共線定理以及向量的三角形法則，并涉及到了正弦定理，屬于中檔題