Question

【題目】已知函數(shù)有最大值， ，且是 的導數(shù)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）證明：當， 時， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）函數(shù)求導，討論函數(shù)單調(diào)性求最值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，求導得在上單調(diào)遞增，由且得，由， 單調(diào)遞增，要證，即，只要證，即，所以只要證，構造函數(shù)求導證明即可.

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為， ．

當時， ，

在上為單調(diào)遞增函數(shù)，無最大值，不合題意，舍去；

當時，令，得，

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞減，

,

,

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,

．

， ,

在上單調(diào)遞增．

又， 且,

．

,

當時， ， 單調(diào)遞增,

要證，即，只要證，即．

， ,

所以只要證 ————（*）,

設 （其中）,

,

在（0，1）上為增函數(shù),

，故（*）式成立，從而．