Question

19．若存在實(shí)數(shù)m，n，使得$\frac{1}{e^x}-\frac{a}{x}≥0$的解集為[m，n]，則a的取值范圍為（　　）

• A． $（\frac{1}{e^2}，e）$
• B． $（0，\frac{1}{e^2}）$
• C． $（0，\frac{1}{2e}）$
• D． $（0，\frac{1}{e}）$

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化$\frac{1}{e^x}-\frac{a}{x}≥0$為a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，求出表達(dá)式的最大值，以及單調(diào)區(qū)間，即可得到a的取值范圍．

解答 解：ae^x≤x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令y=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，令y′=0，可得x=1，
當(dāng)x＞1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減；當(dāng)x＜1時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增．
則當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)y取得最大值$\frac{1}{e}$，
由于存在實(shí)數(shù)m、n，使得f（x）≤0的解集為[m，n]，
則由右邊函數(shù)y=$\frac{x}{{e}^{x}}$的圖象可得a的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．