Question

9．已知向量$\vec a$，$\vec b$，$\vec c$滿足$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$，且$\vec a$與$\vec b$的夾角等于150°，$\vec b$與$\vec c$的夾角等于120°，$|\vec c|=2$，求$|\vec a|$，$|\vec b|$．

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出：由$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$得：$\left\{\begin{array}{l}\vec a+\vec b=-\vec c\\ \vec b+\vec c=-\vec a\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{{\vec a}^2}+{{\vec b}^2}+2\vec a•\vec b={{\vec c}^2}\\{{\vec b}^2}+{{\vec c}^2}+2\vec b•\vec c={{\vec a}^2}\end{array}\right.$．

解答 解：由$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$得：$\left\{\begin{array}{l}\vec a+\vec b=-\vec c\\ \vec b+\vec c=-\vec a\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{{\vec a}^2}+{{\vec b}^2}+2\vec a•\vec b={{\vec c}^2}\\{{\vec b}^2}+{{\vec c}^2}+2\vec b•\vec c={{\vec a}^2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}|\vec a{|^2}+|\vec b{|^2}+2|\vec a||\vec b|cos{150°}=4\\|\vec b{|^2}+4+2•2•|\vec b|cos{120°}=|\vec a{|^2}\end{array}\right.$，
解之得：$|\vec a|=2\sqrt{3}$，$|\vec b|=4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．