Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2，
（1）當(dāng)a=1時(shí)求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)代人，利用二次函數(shù)求解即可得f（x）的最小值為1；
（2）不等式整理為x²-2ax+2-a≥0當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)恒成立，對(duì)二次函數(shù)判別式，△=4a²-4（2-a）≤0時(shí)，①式成立，解得-2≤a≤1
，△=4a²-4（2-a）≥0時(shí)，得a＜-2或a＞1，對(duì)稱軸分類討論，求出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)a=1時(shí)，
f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴f（x）的最小值為1；
（2）f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立
∴x²-2ax+2-a≥0當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)恒成立  ①
△=4a²-4（2-a）≤0時(shí)，①式成立，解得-2≤a≤1
△=4a²-4（2-a）≥0時(shí)，得a＜-2或a＞1
又f（x）=x²-2ax+2-a的對(duì)稱軸是x=a
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的最小值是a²-2a²+2-a≥0，解得-2≤a≤1，此種情況下無(wú)解，
當(dāng)a＜-2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，+∞）上是增函數(shù)，最小值在x=-1時(shí)取到，所以函數(shù)的最小值是3+a≥0，解得a≥-3，
故有-3≤a＜-2
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3，1]

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．