Question

20．如圖，已知拋物線C₁：y=$\frac{1}{4}{x^2}$，圓C₂：x²+（y-1）²=1，過點(diǎn)P（t，0）（t＞0）作不過原點(diǎn)O的直線PA，PB分別與拋物線C₁和圓C₂相切，A，B為切點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由直線PA的斜率存在，設(shè)切線PA的方程為：y=k（x-t）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐標(biāo)．圓C₂的圓心D（0，1），設(shè)B（x₀，y₀），由題意可知：點(diǎn)B與O關(guān)于直線PD得出，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=-\frac{{x}_{0}}{2t}+1}\\{{x}_{0}t-{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，解得B坐標(biāo)．
（2）由（1）可得：（t²-1）x-2ty+2t=0，可得點(diǎn)P到直線AB的距離d，又|AB|=$\sqrt{（\frac{2t}{1+{t}^{2}}-2t）^{2}+（\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}-{t}^{2}）^{2}}$=t²．即可得出S_△PAB．

解答 解：（1）由直線PA的斜率存在，設(shè)切線PA的方程為：y=k（x-t）（k≠0），聯(lián)立拋物線，化為x²-4kx+4kt=0，
∵△=16k²-16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t²）．
圓C₂的圓心D（0，1），設(shè)B（x₀，y₀），由題意可知：點(diǎn)B與O關(guān)于直線PD得出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=-\frac{{x}_{0}}{2t}+1}\\{{x}_{0}t-{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，
∴解得x₀=$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$，y₀=$\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$．
∴B（$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$，$\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$）．
（2）由（1）可得：k_AB=$\frac{{t}^{2}-1}{2t}$，直線AB的方程為：y-t²=$\frac{{t}^{2}-1}{2t}$（x-2t），化為（t²-1）x-2ty+2t=0，
∴點(diǎn)P到直線AB的距離d=$\frac{|（{t}^{2}-1）t+2t|}{\sqrt{（{t}^{2}-1）^{2}+（-2t）^{2}}}$=t，
又|AB|=$\sqrt{（\frac{2t}{1+{t}^{2}}-2t）^{2}+（\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}-{t}^{2}）^{2}}$=t²．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}{t}^{3}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查拋物線、直線與拋物線及其圓的位置關(guān)系及其性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題