Question

16．已知f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4，
（Ⅰ）當(dāng)x∈R時(shí)，恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，恒有f（x）＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論f（x）的函數(shù)類型，借助于二次函數(shù)圖象與x轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與開口方向，判別式的關(guān)系求出；
（2）令f（x）在[1，3）上的最大值小于0即可；
（3）令g（a）=（a-2）x²+2（a-2）x-4=（x²+2x）a-2x²-4x-4，令g（1）＜0，g（3）＜0即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng) a=2 時(shí)，f（x）=-4＜0，符合題意，
 當(dāng)a≠2時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜2\\△=4{（{a-2}）^2}+16（{a-2}）＜0\end{array}\right.⇒-2＜a＜2$，
∴a的取值范圍是（-2，2]．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=-4＜0成立，
當(dāng)a-2＜0，即a＜2時(shí)，f（x）圖象對(duì)稱軸為x=-1，
∴f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，恒有f（x）＜f（0）=-4＜0，符合題意；
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，3）為增函數(shù)，
∴f（3）≤0$⇒2＜a≤\frac{34}{15}$
綜上所述：a的取值范圍是（-∞，$\frac{34}{15}$]．
（Ⅲ）設(shè)f（x）=（x²+2x）a-2x²-4x-4=g（a），
由題設(shè)知：當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，恒有g(shù)（a）＜0，
又g（1）=-x²-2x-4=-（x-1）²-3＜0，
∴g（3）=x²+2x-4≤0，
∴$-\sqrt{5}-1≤x≤\sqrt{5}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象，最小值和單調(diào)性，屬于中檔題．