Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過坐標(biāo)原點(diǎn)且圓心在曲線 上．

（1）若圓分別與軸、軸交于點(diǎn)（不同于原點(diǎn)），求證：的面積為定值；

（2）設(shè)直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求圓的方程；

（3）點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引圓（題（2））的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：直線恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解

（2）

（3）證明見詳解

【解析】

（1）設(shè)出圓的圓心，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出兩點(diǎn)，再計(jì)算的面積。

（2）由題意知為的中垂線，即可得到直線，即可求出圓心。

（3）設(shè)出點(diǎn)，寫出以點(diǎn)為圓心切線長(zhǎng)為半徑的圓的方程，利用圓-圓,即可求出直線的方程，再說明其過定點(diǎn)。

（1）證明：設(shè)圓的圓心為，則半徑 ，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則、，

所以的面積

所以的面積為定值。

（2）因?yàn)?/span>，即O在線段的中垂線上，又圓心在線段的中垂線上，

所以為的中垂線，又

所以，直線為，聯(lián)立解得，舍

所以，

即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（3）證明：設(shè)點(diǎn),則圓心到點(diǎn)的距離

切線長(zhǎng) ，

即以點(diǎn)為圓心，切線長(zhǎng)為半徑的圓為

則圓與圓的相交弦直線為

化簡(jiǎn)得

即過定點(diǎn)