Question

【題目】已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，1），AB邊上的中線(xiàn)CD所在的直線(xiàn)方程為2x﹣2y﹣1=0，AC邊上的高BH所在直線(xiàn)的方程為y=0．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）若圓M經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A、B、P（m，0），且斜率為1的直線(xiàn)與圓M相切于點(diǎn)P，求圓M的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC邊上的高BH所在直線(xiàn)的方程為y=0，所以直線(xiàn)AC的方程為：x=0，

又直線(xiàn)CD的方程為：2x﹣2y﹣1=0，聯(lián)立得 解得 ，所以 ，

設(shè)B（b，0），則AB的中點(diǎn) ，代入方程2x﹣2y﹣1=0，解得b=2，所以B（2，0）；

（2）解：由A（0，1），B（2，0）可得，圓M的弦AB的中垂線(xiàn)方程為4x﹣2y﹣3=0，

注意到BP也是圓M的弦，所以，圓心在直線(xiàn) 上，

設(shè)圓心M坐標(biāo)為 ，

因?yàn)閳A心M在直線(xiàn)4x﹣2y﹣3=0上，所以2m﹣2n+1=0①，

又因?yàn)樾甭蕿?的直線(xiàn)與圓M相切于點(diǎn)P，所以kMP=﹣1，

即 ，整理得m﹣2n﹣2=0②，

由①②解得m=﹣3， ，

所以，圓心 ，半徑 ，

則所求圓方程為 + = ，化簡(jiǎn)得x2+y2+x+5y﹣6=0．

【解析】（1）由AC邊上的高BH所在直線(xiàn)的方程為y=0即x軸，得到AC邊所在直線(xiàn)的方程為x=0即y軸，把x=0與2x﹣2y﹣1=0聯(lián)立即可求出C的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸上，可設(shè)B的坐標(biāo)為（b，0）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)代入到中線(xiàn)CD的方程中即可求出b的值，得到B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)A和B的坐標(biāo)求出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程，根據(jù)B和P的坐標(biāo)求出線(xiàn)段BP的垂直平分線(xiàn)方程，設(shè)出圓心M的坐標(biāo)，代入AB垂直平分線(xiàn)方程得到①，然后根據(jù)斜率為1的方程與圓相切，利用兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率乘積為﹣1得到直線(xiàn)MP的斜率為﹣1，根據(jù)M和P的坐標(biāo)表示出直線(xiàn)MP的斜率讓其等于﹣1得到②，聯(lián)立①②即可求出圓心M的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線(xiàn)段MA的長(zhǎng)度即為圓的半徑，根據(jù)所求的圓心M和半徑寫(xiě)出圓的方程即可．