Question

10．已知橢圓M的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4$\sqrt{3}$，且兩準(zhǔn)線間距離為$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓M的上頂點(diǎn)A作兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)B，C（異于點(diǎn)A），且它們的斜率分別為k₁，k₂，若k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，求證：直線BC恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意得，2c=4$\sqrt{3}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，求出a，b，即可求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線AB的方程為y=k₁x+2，與橢圓的方程聯(lián)立，求出B的坐標(biāo)，同理求出C的坐標(biāo)，確定點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：由題意得，2c=4$\sqrt{3}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，…（2分）
所以a=4，c=2$\sqrt{3}$．…（4分）
所以b=2，…（5分）
又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（6分）
（2）證明：由題意得，橢圓M的上頂點(diǎn)為A（0，2），不妨設(shè)直線AB的斜率為k₁，
則直線AB的方程為y=k₁x+2，
與橢圓的方程聯(lián)立，得整理得（1+4k₁²）x²+16k₁x=0…（8分）
又x≠0，所以x_B=-$\frac{16{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，…（10分）
所以y_B=$\frac{-8{{k}_{1}}^{2}+2}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$．…（12分）
同理可得x_C=$\frac{-16{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，y_C=$\frac{-8{{k}_{2}}^{2}+2}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$
又k₁k₂=$-\frac{1}{4}$，所以把k₂=$-\frac{1}{4{K}_{1}}$代入x_C，y_C，
得x_C=$\frac{16{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，y_C=$\frac{8{{k}_{1}}^{2}-2}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，…（14分）
因?yàn)閤_B+x_C=0，y_B+y_C=0．…（15分）
所以點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
即無論直線AB的斜率k₁取何值時(shí)，直線BC恒過一個(gè)原點(diǎn)．
所以直線BC恒過一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．