Question

1．在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，3），設圓C的半徑為，且圓心C在直線l：y=2x-4上．
（Ⅰ）若圓心C又在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求此切線的方程；
（Ⅱ）若圓C上存在點M，使得|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立兩直線方程求得圓心C的坐標，則圓的方程可得，設出切線方程，利用點到直線的距離求得k，則直線的方程可得．
（Ⅱ）設出圓心C的坐標，表示出圓的方程，進而根據(jù)|MA|=2|MO|，設出M，利用等式關(guān)系整理求得M的軌跡方程，進而判斷出點M應該既在圓C上又在圓D上，且圓C和圓D有交點．進而確定不等式關(guān)系求得a的范圍．

解答 M解：（Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得圓心C為（3，2），因為圓C的半徑為1，
所以圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=1．
顯然切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0．
所以$\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=0或-$\frac{3}{4}$．
則所求圓C的切線方程為：y=3或3x+4y-12=0．
（Ⅱ）因為圓C的圓心在直線y=2x-4上，所以設圓心C為（a，2a-4），
則圓C的方程為：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1．
又|MA|=2|MO|，設m為（x，y），則$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
整理得：x²+（y+1）²=4，設該方程對應的圓為D，
所以點M應該既在圓C上又在圓D上，且圓C和圓D有交點．則|2-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+[2a-4）-（-1）]^{2}}$≤|2+1|．
由5a²-12a+8≥0，得a∈R．
由5a²-12a≤0得0≤a≤$\frac{12}{5}$．所以圓心C的橫坐標的取值范圍為[0，$\frac{12}{5}$]．

點評 本題主要考查了直線與圓的方程的應用．考查了學生的分析推理和基本的運算能力．