Question

15．已知△ABC三個頂點分別為A（1，0），B（1，4），C（3，2），直線l經(jīng)過點（0，4）．
（1）求證：△ABC是等腰直角三角形；
（2）求△ABC外接圓⊙M的方程；
（3）若直線l與⊙M相交于P，Q兩點，且PQ=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點的坐標分別求得AC，BC的斜率判斷出兩直線垂直，進而判斷出三角形為直角三角形．
（2）先確定圓心，進而利用兩點間的距離公式求得半徑，則圓的方程可得．
（3）先看直線斜率不存在時判斷是否符合，進而看斜率存在時設出直線的方程，利用圓心到直線的距離求得k，則直線的方程可得．

解答 解：（1）因為A（1，0），B（1，4），C（3，2），所以k_AC=1，k_BC=-1，
所以CA⊥CB，又CA=CB=2$\sqrt{2}$，所以△ABC是等腰直角三角形，
（2）由（1）可知，⊙M的圓心是AB的中點，所以M（1，2），半徑為2，
所以⊙M的方程為（x-1）²+（y-2）²=4．
（3）因為圓的半徑為2，當直線截圓的弦長為2$\sqrt{3}$時，
圓心到直線的距離為$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
①當直線l與x軸垂直時，l方程為x=0，它與圓心M（1，2）的距離為1，滿足條件；
②當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+4，因為圓心到直線y=kx+4的距離為$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{3}{4}$，此時直線l的方程為3x+4y-16=0．
綜上可知，直線l的方程為x=0或3x+4y-16=0．

點評 本題主要考查了直線與圓的綜合問題的應用．利用圓心到直線的距離解決問題是常用的方法．