Question

19．已知直線l：x-y+m=0與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點不在圓x²+y²=$\frac{5}{9}$內(nèi)，則m的取值范圍為（　�。�

• A． m≥1或m≤-1
• B． -$\sqrt{3}$≤m≤-1或1≤≤m≤$\sqrt{3}$
• C． -1≤m≤1
• D． -$\sqrt{3}$＜m≤-1或1≤m＜$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點，聯(lián)立直線和橢圓的方程，消元，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理求得AB的中點坐標，再根據(jù)該點不在圓內(nèi)，得到該點到圓心的距離≥半徑，求得m的取值范圍．

解答 解：聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0，
則△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$，①
x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，
y₁+y₂=x₁+x₂+2m=$\frac{2m}{3}$，
即AB的中點為（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{1}{3}$m），
又∵線段AB的中點不在圓x²+y²=$\frac{5}{9}$內(nèi)，
∴$\frac{4{m}^{2}}{9}$+$\frac{{m}^{2}}{9}$≥$\frac{5}{9}$，
解得，m≤-1或m≥1，②
由①②得：-$\sqrt{3}$＜m≤-1或1≤m＜$\sqrt{3}$．
故選D．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力，直線與圓錐曲線相交問題，易忽視△＞0，屬中檔題．