Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)＝x²－4x＋2，若對(duì)任意x₁∈(0，＋∞)，均存在x₂∈[0,1]，使得f(x₁)<g(x₂)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝a＋＝ (x>0)．

①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x>0，故ax＋1>0，

f′(x)>0，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．

②當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)＝0，得x＝－.

在區(qū)間上，f′(x)>0，在區(qū)間上，

f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)由題意得f(x)_max<g(x)_max，

而g(x)_max＝2，

由(1)知，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意．

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故f(x)的極大值即為最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，

所以2>－1－ln(－a)，解得a<－.

故a的取值范圍為.