Question

1．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，?x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3），若函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于直線x+1=0對稱，且f（0）=2016，則f（2016）=（　　）

• A． 0
• B． -2016
• C． 2016
• D． 2015

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)平移關(guān)系得到f（x）關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，對已知條件賦值可求f（3）=f（-3）=0，可得函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于直線x+1=0對稱
∴函數(shù)f（x+1）的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，
即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)．
∵?x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3），
令x=-3可得f（3）=f（-3）+2f（3），
∴f（-3）=-f（3）=f（3），
∴f（3）=f（-3）=0．
∴f（x+6）=f（x）即函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，
∴f（2016）=f（336×6）=f（0）=2016，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，函數(shù)的圖象的平移及偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的周期的求解是求解本題的關(guān)鍵