Question

已知（

3	x2

+3x²）ⁿ展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和大992
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；　　　　
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
（3）求展開式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,二項(xiàng)式定理

分析：令x=1可得，展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為4ⁿ，而展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ，從而可求n得值，及通項(xiàng)
（1）由上可得，n=5時(shí)，展開式有6項(xiàng)，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3，4項(xiàng)，代入通項(xiàng)可求
（2）假設(shè)第k+1項(xiàng)最大，則

3k C k 5 ≥3k-1 C k-1 5 3k C k 5 ≥3k+1 C k+1 5

，解出k得范圍，結(jié)合k∈N^*可求；
（3）

10+4r

3

為有理數(shù)，則r=2，5，可得展開式中所有的有理項(xiàng)．

解答： 解：由題意在（

3	x2

+3x²）ⁿ中，令x=1可得，展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為（1+3×1）ⁿ=4ⁿ
又∵展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ
∴4ⁿ-2ⁿ=992
∴n=5，T_r+1=3r

C

r 5

x

10+4r

3

（1）當(dāng)n=5時(shí)，展開式有6項(xiàng)，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3，4項(xiàng)，即90x⁶，270x

22

3

；
（2）假設(shè)第k+1項(xiàng)最大，則

3k C k 5 ≥3k-1 C k-1 5 3k C k 5 ≥3k+1 C k+1 5

，解得3.5≤k≤4.5，
∵k∈N^*
∴k=4，
∴T₅=405x

26

3

為所求的系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）

10+4r

3

為有理數(shù)，則r=2，5，展開式中所有的有理項(xiàng)為90x⁶，243x¹⁰．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用賦值法求解二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和及展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的綜合應(yīng)用