12．已知△ABC中，a=3${\;}^{\frac{1}{2}}$，$\frac{b+c}{a}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，求三角形周長．

分析 由$\frac{b+c}{a}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，由正弦定理可得：$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，化為sinC+sinB=2sinA，由正弦定理可得：c+b=2a，即可得出．

解答 解：∵$\frac{b+c}{a}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，
由正弦定理可得：$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，
化為sinBcosA+sinCcosA=2sinA-sinAcosB-sinAcosC，
∴sinBcosA+sinAcosB+sinAcosC+sinCcosA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
即sinC+sinB=2sinA，
由正弦定理可得：c+b=2a，
∴三角形周長=a+b+c=3a=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、兩角和差的正弦公式、三角形的周長計算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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A．$\frac{5π}{12}$B．$\frac{π}{3}$C．$\frac{π}{4}$D．$\frac{π}{6}$

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A．1B．$\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．2

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