Question

20．已知直線y=$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$與冪函數(shù)f（x）=x^m（m≠0）的圖象將于A、B兩點，且|AB|=$\sqrt{10}$，則m的值為（　�。�

• A． -2
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 分別取冪函數(shù)的指數(shù)為四個選項，然后判斷交點情況，若有兩個交點，求出直線被曲線所截線段長，則答案可求．

解答 解：若m=-2，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y={x}^{-2}}\end{array}\right.$，得（x-1）（x²+3x+3）=0，即x=1．
說明m=-2時，直線y=$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$與冪函數(shù)f（x）=x^m（m≠0）的圖象只有一個交點，不合題意；
由冪函數(shù)的圖象可知，m=-$\frac{1}{2}$時，直線y=$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$與冪函數(shù)f（x）=x^m（m≠0）的圖象只有一個交點，不合題意；
當m=$\frac{1}{2}$時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y={x}^{\frac{1}{2}}}\end{array}\right.$，得$x-3\sqrt{x}+2=0$，解得x₁=1，x₂=4．
當x₁=1時，y₁=1；當x₂=4時，y₂=2．
∴A（1，1），B（4，2）．
則$|AB|=\sqrt{（4-1）^{2}+（2-1）^{2}}=\sqrt{10}$，符合題意；
當m=2時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得A（$-\frac{2}{3}，\frac{4}{9}$），B（1，1），
|AB|=$\sqrt{（1+\frac{2}{3}）^{2}+（1-\frac{4}{9}）^{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$，不合題意．
故選：C．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了直線和曲線的交點問題，是中檔題．