Question

【題目】已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， ， ．

（1）若成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若成等差數(shù)列，

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②在與間插入個(gè)正數(shù)，共同組成公比為的等比數(shù)列，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件建立方程，通過解方程組進(jìn)行分析求解；（2）先依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用等差數(shù)列的定義建立方程求出參數(shù)，再借助數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用兩邊取對(duì)數(shù)的方法將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后將參數(shù)進(jìn)行分離，構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用函數(shù)思想及導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析求解：

解：（1）當(dāng)時(shí)， ， ，當(dāng)時(shí)， ， ，

由得，即，解得： 。

（2）由得，故， ，所以，

當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)?/span>，所以

故數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)組成以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，

其通項(xiàng)公式，

同理，數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)組成以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，

其通項(xiàng)公式是

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是

（3），在與間插入個(gè)正數(shù)，組成公比為的等比數(shù)列，故有，

即，

所以，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，

分離參數(shù)得恒成立

令， ，則， ，

令， ，則，

下證， ，

令， 則，所以，

即，用替代可得， ，

所以，所以在上遞減，

所以