Question

已知函數(shù) f（x）=

e-x-2，x≤0 2ax-1，x＞0

（a是常數(shù)且a＞0）．對于下列命題：
①函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小值是-1；
③若f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；
④對任意的x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：①只需說明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性即可；
②由圖只需說明在點x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；
③只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，則當x=

1

2

時，函數(shù)取得最小值，從而求得a的取值范圍是a＞1；
④已知函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，故D正確．

解答： 解：函數(shù) f（x）=

e-x-2，x≤0 2ax-1，x＞0

（a是常數(shù)且a＞0）．如下圖所示：

①由圖象說明函函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；故錯；
②由圖只需說明在點x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；故正確；
③只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，則當x=

1

2

時，函數(shù)取得最小值，求得a的取值范圍是a＞1；故正確；
④已知函數(shù)函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，故正確．
故答案為：②③④．

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，最值，單調(diào)性及恒成立問題，難度不大，屬于中檔題．