Question

已知a₁＞0，a_n+1=

an

1+an

（n=1，2，…）
（1）求證：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=

1

2

，寫出a₂，a₃，a₄，a₅的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n（不要求證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,數(shù)列遞推式,數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,推理和證明

分析：（1）利用反證法假設(shè)a_n+1=a_n，推出：a_n=a_n-1=…=a₂=a₁=0，這與題設(shè)a₁＞0相矛盾，得到a_n+1≠a_n；
（2）通過a₁=

1

2

，利用遞推關(guān)系式直接寫出a₂，a₃，a₄，a₅的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n（不要求證明）．

解答： 解：（1）證明：假設(shè)a_n+1=a_n，即an=

an

1+an

，…2分
解得a_n=0…3分
從而a_n=a_n-1=…=a₂=a₁=0，…4分
這與題設(shè)a₁＞0相矛盾，…5分
所以a_n+1=a_n不成立．
故a_n+1≠a_n成立．…6分
（2）由題意得a₁=

1

2

，a_n+1=

an

1+an

，
∴a₂=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
a₃=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

，
a₄=

1 4

1+ 1 4

=

1

5

，
a₅=

1 5

1+ 1 5

=

1

6

，…8分
由此猜想：an=

1

n+1

．…10分．

點(diǎn)評：本題考查反證法的應(yīng)用，歸納推理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．