Question

4．已知函數f（x）=e^x，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+x+1，則與f（x），g（x）的圖象均相切的直線方程是y=x+1．

Answer 1

分析 設切線l與函數f（x）的圖象相切，切點為（t，e^t），則l的方程可表示為y=e^tx+e^t（1-t），直線l與函數g（x）的圖象相切的充要條件是關于x的方程e^tx+e^t（1-t）=$\frac{1}{2}$x²+x+1有兩個相等的實數根，從而有△=0，構造函數化為函數零點存在問題可求切線的方程．

解答 解：設所求直線l與函數f（x）的圖象相切，切點為（t，e^t），
函數f（x）=e^x，導數為f′（x）=e^x，
則直線l的方程為y-e^t=e^t（x-t），即y=e^tx+e^t（1-t），
直線l與函數g（x）的圖象相切的充要條件是關于x的方程e^tx+e^t（1-t）=$\frac{1}{2}$x²+x+1，
即$\frac{1}{2}$x²+（1-e^t）x+1-e^t（1-t）=0有兩個相等的實數根，
∴△=e^2t-2e^t+1-2+2e^t（1-t）=0，
化為e^2t-2te^t-1=0，
設φ（t）=e^2t-2te^t-1，
φ′（t）=2e^2t-2（t+1）e^t=2e^t（e^t-t-1），
由h（t）=e^t-t-1的導數為h′（t）=e^t-1，
當t＞0時，h（t）遞增；當t＜0時，h（t）遞減．
可得h（t）≥h（0）=0，
即有φ′（t）≥0，即φ（t）在R上遞增，
由φ（0）=0，e^2t-2te^t-1=0的解為t=0，
存在唯一一條直線l與函函數f（x）與g（x）的圖象均相切，
其方程為y=x+1．
故答案為：y=x+1．

點評 該題考查導數的幾何意義，直線方程的知識，考查學生的推理能力及運算求解能力，屬于中檔題．