Question

4．已知點(diǎn)P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）右支上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，∠F₁PF₂的角平分線l與x軸交于點(diǎn)Q（x₀，0），設(shè)雙曲線的半焦距為c，若x₀的范圍是0＜x₀≤$\frac{2}{3}$c，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)PF₁=m，PF₂=n，（m＞n），由雙曲線的定義可得，m-n=2a，再由角平分線的性質(zhì)可得，$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{Q{F}_{1}}{Q{F}_{2}}$，運(yùn)用比例的性質(zhì)，結(jié)合條件和雙曲線的范圍，即可得到離心率．

解答 解：設(shè)PF₁=m，PF₂=n，（m＞n），
由雙曲線的定義可得，m-n=2a，
再由角平分線的性質(zhì)可得，
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{Q{F}_{1}}{Q{F}_{2}}$，
即為$\frac{m}{n}$=$\frac{{x}_{0}+c}{c-{x}_{0}}$，
則$\frac{m+n}{m-n}$=$\frac{c}{{x}_{0}}$，
由m-n=2a，m+n≥2c，0＜x₀≤$\frac{2}{3}$c，
即有當(dāng)m+n=2c，x₀=$\frac{2}{3}$c，
等式成立，
則有$\frac{2c}{2a}$=$\frac{c}{\frac{2}{3}c}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法和雙曲線的范圍，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．