Question

7．某地區(qū)有小學18所，中學12所，大學6所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調(diào)查．
（1）若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2所學校均為小學的概率；
（2）若某小學被抽取，該小學五個年級近視眼率y的數(shù)據(jù)如下表：

年級號x	1	2	3	4	5
近視眼率y	0.1	0.15	0.2	0.3	0.39

根據(jù)前四個年級的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求y關于x的線性回歸直線方程，并計算五年級近視眼率的估計值與實際值之間的差的絕對值．
（附：回歸直線$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）3所小學、2所中學、1所大學，分別為a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，c₁，列出6所學校抽取2所所有基本事件，事件A為抽取的2所學校均為小學的事件，求解概率．
（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出這組數(shù)據(jù)的橫標和縱標的平均數(shù)，即這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，求出a，b的值，寫出線性回歸方程，代入x的值，求出近視眼率的估計值．

解答 解：（1）18：12：6=3：2：1，故抽取的6所學校中有3所小學、2所中學、1所大學，分別為a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，c₁，…（1分）
6所學校抽取2所所有基本事件為：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，c₁），（a₂，a₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，c₁），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₃，c₁），（b₁，b₂），（b₁，c₁），（b₂，c₁）共15種，…（2分）
設事件A為抽取的2所學校均為小學，則A事件有：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃）共3種，
…（4分）
故P（A）=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$．
答：抽取的2所學校均為小學的概率為：$\frac{1}{5}$．…（5分）
（2）$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}$=2.5，$\overline{y}=\frac{0.1+0.15+0.2+0.3+0.39}{5}$=0.1875，
$\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}=30$，$\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{\;}{y}_{i}=22$…（8分）
∴$\hat$=0.065，$\hat{a}$=0.025…（10分）
∴$\hat{y}$=0.065x+0.025，x=5時，$\hat{y}$=0.35，
|0.35-0.39|=0.04．…（12分）

點評 本題考查古典概型概率的求法，線性回歸方程，考查樣本中心點，做本題時要注意本題把利用最小二乘法來求線性回歸方程的系數(shù)的過程省掉，只要求a的值，這樣使得題目簡化，注意運算不要出錯．