【題目】已知直線().
(1)證明:直線過定點(diǎn);
(2)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(3)若直線軸負(fù)半軸于,交軸正半軸于,△的面積為(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的最小值,并求此時(shí)直線的方程.
【答案】(1)無論k取何值,直線過定點(diǎn)(-2,1);(2);(3)△AOB的面積的最小值為4,此時(shí)直線l的方程為x-y+1+1=0.
【解析】【試題分析】(1)將直線方程變形為含參數(shù)的項(xiàng)與 不含參數(shù)的項(xiàng),借助條件建立方程組,即可求出定點(diǎn)坐標(biāo);(2)借助(1)的結(jié)論,并數(shù)形結(jié)合建立關(guān)于的不等式組求解;(3)先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo),再建立△的面積關(guān)于斜率的函數(shù),運(yùn)用基本不等式求最小值,并借助函數(shù)取得最小值時(shí)的條件求出直線的方程:
(1)證明:由已知得: k(x+2)+(1-y)=0,
令 x+2=0 且 1-y=0,得: x=-2, y=1
∴無論k取何值,直線過定點(diǎn)(-2,1)
(2)直線方程可化為,
當(dāng)時(shí),要使直線不經(jīng)過第四象限,則,解得;
當(dāng)時(shí),直線為,符合題意.
綜上:的取值范圍是。
(3)令y=0得:A點(diǎn)坐標(biāo)為,令x=0得:B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2k+1)(k>0),
∴S△AOB=|2k+1|=(2k+1)=≥(4+4)=4
當(dāng)且僅當(dāng)4k=,即k=時(shí)取等號(hào).
即△AOB的面積的最小值為4,此時(shí)直線l的方程為x-y+1+1=0,
即 x-2y+4=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)滿足的一切的值,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)不是奇函數(shù);
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并利用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明;
(3)若是奇函數(shù),且在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)滿足,求直線的方程;
(Ⅱ)為直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)為平面上的動(dòng)點(diǎn),且過點(diǎn)作的垂線,垂足為,滿足:
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)在軌跡上求一點(diǎn),使得到直線的距離最短,并求出最短距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(Ⅰ)求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)直線過已知拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為45°,且與拋物線的交點(diǎn)為A、B,求線段AB的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)一批產(chǎn)品需要原材料500噸,每噸原材料可創(chuàng)造利潤12萬元,該公司通過設(shè)備升級(jí),生產(chǎn)這批產(chǎn)品所需原材料減少了噸,且每噸原材料創(chuàng)造的利潤提高;若將少用的噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開發(fā)的產(chǎn)品,每噸原材料創(chuàng)造的利潤為萬元.
(1)若設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤不低于原來生產(chǎn)該批產(chǎn)品的利潤,求的取值范圍;
(2)若生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線
(1)化的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,Q為上的動(dòng)點(diǎn),求PQ的中點(diǎn)M到直線
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