Question

16．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=x+$\sqrt{2x-1}$
（2）y=$\frac{2{x}^{2}+4x-7}{{x}^{2}+2x+3}$．

Answer 1

分析 （1）可令$\sqrt{2x-1}=t$，（t≥0），從而將原函數(shù)變成y=$\frac{1}{2}（t+1）^{2}$，從而根據t≥0，求該二次函數(shù)的值域即可；
（2）將原函數(shù)變成$y=2-\frac{13}{{x}^{2}+2x+3}$，而配方x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，從而求$\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}$的范圍，從而得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）令$\sqrt{2x-1}=t$，t≥0，則x=$\frac{1}{2}（{t}^{2}+1）$；
∴$y=\frac{1}{2}（{t}^{2}+1）+t=\frac{1}{2}（t+1）^{2}$；
∵t≥0；
∴t+1≥1，$\frac{1}{2}（t+1）^{2}≥\frac{1}{2}$；
∴原函數(shù)的值域為：$[\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）$y=\frac{2{x}^{2}+4x-7}{{x}^{2}+2x+3}=\frac{2（{x}^{2}+2x+3）-13}{{x}^{2}+2x+3}$=$2-\frac{13}{{x}^{2}+2x+3}$；
∵x²+2x+3=（x+1）²+2≥2；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}≤\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{9}{2}≤y＜2$；
∴原函數(shù)的值域為：$[-\frac{9}{2}，2）$．

點評 考查值域的概念，換元求函數(shù)值域，及分離常數(shù)求函數(shù)值域的方法，配方求二次函數(shù)的值域，應用換元時，要求出所換變量的范圍．