Question

18．已知a＞0且a≠1，若關于x的不等式log_ax＞x有解，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，1）∪（1，${e}^{\frac{1}{e}}$）
• C． （1，${e}^{\frac{1}{e}}$）
• D． （0，1）∪（1，e）

Answer 1

分析 利用函數(shù)，不等式和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：設f（x）=log_ax，g（x）=x，
若關于x的不等式log_ax＞x有解，
則等價為f（x）和g（x）的圖象有交點．
若0＜a＜1，作出兩個函數(shù)的圖象，此時兩個函數(shù)恒有一個交點，滿足條件．
若a＞1時，當f（x）和g（x）相切時，滿足條件．
設切點為（m，m），
則f′（x）=$\frac{1}{xlna}$，即切線斜率k=f′（m）=$\frac{1}{mlna}$=1
則切線方程為y-m=x-m，即切線方程為y=x，
此時滿足mlna=1，且log_am=m，
則mlna=1，且$\frac{lnm}{lna}=m$，
即mlna•$\frac{lnm}{lna}=m$，
即lnm=1，則m=e，即切點為（e，e）．
此時elna=1，lna=$\frac{1}{e}$，解得a=${e}^{\frac{1}{e}}$，
∴此時若f（x）和g（x）的圖象有交點，則1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$，
綜上a的取值范圍是（0，1）∪（1，${e}^{\frac{1}{e}}$），
故選：B．

點評 本題主要考查不等式的求解，轉化為函數(shù)與方程問題，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．