Question

已知函數(shù)f（x）=log

1

2

|sinx|．
（1）求其定義域和值域；
（2）判斷其奇偶性；
（3）求其周期；
（4）寫出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的奇偶性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由|sinx|＞0得sinx≠0，即x≠kπ（k∈Z），即可得到定義域；由0＜|sinx|≤1，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到值域；
（2）運(yùn)用奇偶性的定義和誘導(dǎo)公式，即可判斷，注意定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；
（3）運(yùn)用周期函數(shù)的定義，計(jì)算得到f（x+π）=f（x），即可判斷；
（4）令u=|sinx|，則y=log

1

2

u在（0，+∞）上是減函數(shù)，求出u=|sinx|的單調(diào)區(qū)間，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，即可得到．

解答： 解：（1）由|sinx|＞0得sinx≠0，∴x≠kπ（k∈Z）．
即函數(shù)定義域?yàn)閧x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
又0＜|sinx|≤1，∴log

1

2

|sinx|≥0．
∴函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞）．
（2）∵f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且f（-x）=）=log

1

2

|sin（-x）|=log

1

2

|sinx|=f（x）．
∴f（x）為偶函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，
∵f（x+π）=log

1

2

|sin（x+π）|=log

1

2

|sinx|=f（x），
∴f（x）的周期T=π．
（4）令u=|sinx|，
則y=log

1

2

u在（0，+∞）上是減函數(shù)，
由于u在（kπ，kπ+

π

2

）上遞增，在（kπ+

π

2

，kπ+π）上遞減，
則f（x）在（kπ，kπ+

π

2

）上遞減，在（kπ+

π

2

，kπ+π）上遞增，
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（kπ+

π

2

，kπ+π），單調(diào)減區(qū)間為（kπ，kπ+

π

2

）（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用，考查函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的奇偶性，注意定義域關(guān)于原點(diǎn)對照，函數(shù)的周期性和函數(shù)的單調(diào)性，注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，屬于中檔題和易錯(cuò)題．