Question

已知曲線W上的動點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1x=-1的距離．過點(diǎn)P（-1，0）任作一條直線l與曲線W交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）求△PBC面積S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題知，曲線W是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1準(zhǔn)線的拋物線，由此可求出曲線W的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入拋物線方程，由題意S=

1

2

|PF||y₁+y₂|=|k（x₁+x₂+2）|=

4

|k|

，由|k|＜1且k≠0，可以求出S的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題知，曲線W是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線W的方程為y²=4x；       
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l與曲線W交于A、B兩點(diǎn)，所以l的斜率k存在，且k≠0
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入拋物線方程得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
因?yàn)橹本�l與曲線W交于A、B兩點(diǎn)，
所以k≠0，△=4（k²-2）²-4k⁴＞0，即|k|＜1且k≠0．
設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

4-2k2

k2

，
由題意S=

1

2

|PF||y₁+y₂|
=|k（x₁+x₂+2）|=

4

|k|

因?yàn)閨k|＜1且k≠0，所以S的取值范圍是（4，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的合理運(yùn)用．