Question

如圖，在四棱錐中P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=2MC，求三棱錐P-QBM的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ））由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎體體積公式求出．

解答： （I）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；----------------（6分）
（II）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，
又PM=2MC，∴VP-QBM=VM-PQB=

1

3

•

1

2

•

3

•

3

•

2

3

•2=

2

3

---------------------------（12分）

點評：本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求錐體體積，著重考查了平面與平面垂直的判定、平面與平面垂直的性質(zhì)和體積公式等知識，屬于中檔題．