Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對(duì)稱，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）=-$\frac{1}{f（x+\frac{3}{2}）}$，且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（0）+f（1）+…+f（2015）=0．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件確定函數(shù)的周期，再由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對(duì)稱，從而求出f（1）、f（2）、f（3）的值，最終得到答案．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{f（x+\frac{3}{2}）}$，
∴f（x+3）=-$\frac{1}{f（x+\frac{3}{2}）}$=f（x）
∴f（x）是周期為3的周期函數(shù)．
∴f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，
又f（-1）=-$\frac{1}{f（\frac{1}{2}）}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-1，
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對(duì)稱，
∴f（x）=-f（-x-$\frac{3}{2}$），
∴f（1）=-f（-$\frac{5}{2}$）=-f（-$\frac{5}{2}$+3）=-f（$\frac{1}{2}$）=1，
f（1）=f（4）=…=f（2015）=1，由f（-1）=1，
可得出f（2）=f（5）=…=f（2013）=1，由f（0）=-2，
可得出f（3）=f（6）=…=f（2014）=-2
∴f（0）+f（1）+…+f（2015）=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的周期性，其中根據(jù)已知中對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）=-$\frac{1}{f（x+\frac{3}{2}）}$，且判斷出函數(shù)的周期性，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題