Question

2．如圖所示，⊙O為△ABC的外接圓，且AB=AC，過點A的直線交⊙O于D，交BC的延長線于F，DE是BD的延長線，連接CD．
（1）求證：∠EDF=∠CDF；
（2）求證：AB²=AF•AD．

Answer 1

分析 （1）可根據(jù)切割線定理先得出關(guān)于FD，F(xiàn)A，F(xiàn)C，F(xiàn)B的比例關(guān)系，然后得出三角形FDC和FBA相似，因此可得出∠CDF=∠ABC，∠EDF和∠ADB是對頂角，因此只要證得∠ABC=∠ADB相等即可，AB=AC，∠ABC=∠ACB，而∠ACB和∠ADB又對應(yīng)同一段弧，因此也就相等了，至此便可得出本題的結(jié)論；
（2）關(guān)鍵是證△ABD，△ABF相似，已經(jīng)有一個公共角，根據(jù)（1）中證明的過程我們不難得出∠ABC=∠CDF，得到兩三角形相似后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)比例即可得出所求的結(jié)果

解答 證明：（1）根據(jù)切割線定理的推論可知：FD•FA=FC•FB
∵∠F=∠F，
∴△FDC∽△FBA，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB（所對的弧相等）
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF；
（2）由（1）知∠ADB=∠ABC．
又∵∠BAD=∠FAB，
∴△ADB∽△ABF，∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AF•AD．

點評 本題主要考查了切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，通過切割線定理求出三角形相似從而得出角相等是解題的關(guān)鍵．