Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁=1，S_n=5a_n+1（n∈N⁺），求a_n．

Answer 1

分析 n=1時(shí)，S₁=5a₂，解得a₂=$\frac{1}{5}$．當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=5a_n，利用a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{6}{5}$，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：n=1時(shí)，S₁=5a₂，解得a₂=$\frac{1}{5}$．當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=5a_n，
∴a_n=S_n-S_n-1=5a_n+1-5a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{6}{5}$，
∴${a}_{n}={a}_{2}（\frac{6}{5}）^{n-2}$=$\frac{1}{5}$×$（\frac{6}{5}）^{n-2}$．
綜上：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{5}•（\frac{6}{5}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．