Question

5．如圖，過圓O外一點(diǎn)M作圓的切線，切點(diǎn)為A，過A作AP⊥OM于P．
（1）求證：OM•OP=OA²；
（2）N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)．過B點(diǎn)的切線交直線ON于K．求證：∠OKM=90°．

Answer 1

分析 （1）在三角形OAM中考慮，因?yàn)镸A是圓O的切線，所以O(shè)A⊥AM，從而由射影定理即得；
（2）結(jié)合（1）問的結(jié)論，利用比例線段證明兩個(gè)三角形△ONP、△OMK相似，通過對(duì)應(yīng)角相等即可得．

解答 證明：（1）因?yàn)镸A是圓O的切線，
所以O(shè)A⊥AM，又因?yàn)锳P⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知OA²=OM•OP，
故OM•OP=OA²得證．
（2）因?yàn)锽K是圓O的切線，BN⊥OK，同（1）有：
OB²=ON•OK，又OB=OA，
所以O(shè)M•OP=ON•OK，即$\frac{ON}{OP}=\frac{OM}{OK}$，
又∠NOP=∠MOK，
所以△ONP～△OMK，
故∠OKM=∠OPN=90°．
即有：∠OKM=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的高考考點(diǎn)是圓的有關(guān)知識(shí)及應(yīng)用、切割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．