Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

π

6

，a_n∈（-

π

2

，

π

2

），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{tan²a_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{tan²a_n}的前n項(xiàng)和；
（Ⅱ）求正整數(shù)m，使得11sina₁•sina₂•…•sina_m=1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由于對(duì)任意正整數(shù)n，a_n∈（-

π

2

，

π

2

），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．可得tan²a_n+1=

1

cos2an

=1+tan²a_n，即可證明數(shù)列{tan²a_n}是等差數(shù)列，再利用通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（II）由cosa_n＞0，tana_n+1＞0，an+1∈(0，

π

2

)．可得tana_n，cosa_n，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得sina₁•sina₂•…•sina_m=（tana₂•cosa₁）•（tana₃cosa₂）•…•（tana_m•cosa_m-1）•（tana₁•cosa_m）=（tana₁•cosa_m），即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：∵對(duì)任意正整數(shù)n，a_n∈（-

π

2

，

π

2

），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
故tan²a_n+1=

1

cos2an

=1+tan²a_n，
∴數(shù)列{tan²a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)tan²a₁=

1

3

，以1為公差．
∴tan2an=

1

3

+(n-1)×1=

3n-2

3

．
∴數(shù)列{tan²a_n}的前n項(xiàng)和=

1

3

n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2-

1

6

n．

（Ⅱ）解：∵cosa_n＞0，∴tana_n+1＞0，an+1∈(0，

π

2

)．
∴tana_n=

3n-2 3

，cosan=

3 3n+1

，
∴sina₁•sina₂•…•sina_m=（tana₁cosa₁）•（tana₂•cosa₂）•…•（tana_m•cosa_m）
=（tana₂•cosa₁）•（tana₃cosa₂）•…•（tana_m•cosa_m-1）•（tana₁•cosa_m）
=（tana₁•cosa_m）=

3

3

•

3 3m+1

=

1 3m+1

，
由

1 3m+1

=

1

11

，得m=40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．