Question

12．求y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，$\frac{π}{3}$]的值域．

Answer 1

分析 令t=sinx-cosx，由t=sin（x-$\frac{π}{4}$），根據(jù)正弦函數(shù)的性質求得t∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$]，將y=sinxcosx+sinx-cosx轉化為y=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$，利用二次函數(shù)的性質及函數(shù)的取值范圍即可求得答案．

解答 解：y=sinx-cosx+sinxcosx，
令t=sinx-cosx，則sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
由t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴t∈[-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]，
∴y=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$，t∈[-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]，
根據(jù)二次函數(shù)的性質知其對稱軸t=1，
∴t在區(qū)間[-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]，單調遞增，
∴y在x∈[0，$\frac{π}{3}$]的值域為[-1，$\frac{3\sqrt{3}-2}{4}$]．

點評 本題考查二倍角的正弦，考查二次函數(shù)的性質，重點體現(xiàn)了換元法和配方法，屬于中檔題．