Question

18．已知△ABC中，3$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，tanB=2，|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{BD}$|=2，則△ABC的面積為$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 可作圖：延長AB到E，使AE=2AB，連接CE，取CE中點F，連接AF，從而可得到$2\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}$，從而求出DF=1，連接BF，這樣便可說明點D在邊BC上，并求出BC=6．取AB的中點M，連接DM，則有DM⊥AB，根據(jù)tanB=2便可求出AB=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，過A作AN⊥BC，垂足為N，同理可求出$AN=\frac{8}{5}$，這樣根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．

解答 解：如圖，延長AB到E，使AE=2AB，連接CE，取CE中點F，連接AF，則：

2$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$；
即$2\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}$；
∴$|\overrightarrow{AF}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{AD}|=3$；
∴$|\overrightarrow{DF}|=1$；
即$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{2}$，連接BF，則：BF∥AC，且$\frac{BF}{AC}=\frac{1}{2}$；
∴點D在邊BC上，且$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}，BD=2$，∴CD=4，∴BC=6；
取AB中點M，連接DM，則DM⊥AB；
設(shè)BM=x，∵tanB=2，∴DM=2x；
∴x²+（2x）²=4；
∴$x=\frac{2}{\sqrt{5}}$；
∴$AB=\frac{4}{\sqrt{5}}$，同理，過A作AN⊥BC，垂足為N，則：$B{N}^{2}+（2BN）^{2}=\frac{16}{5}$；
∴$BN=\frac{4}{5}$；
∴$AN=\frac{8}{5}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×\frac{8}{5}=\frac{24}{5}$．
故答案為：$\frac{24}{5}$．

點評 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，三角形中位線的性質(zhì)，以及相似三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系，正切函數(shù)的定義，直角三角形邊的關(guān)系，三角形的面積公式．