Question

9．若函數(shù)f（x）=（2x²+ax）•e^x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，-$\frac{1}{2}$），則實數(shù)a的值為3．

Answer 1

分析 求f′（x）=[2x²+（4+a）x+a]e^x，e^x＞0，所以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系即可得到不等式2x²+（4+a）x+a＜0的解為（-3，-$\frac{1}{2}$），所以x=-3，$-\frac{1}{2}$便是一元二次方程2x²+（4+a）x+a=0的兩實根，從而根據(jù)韋達定理即可求出a．

解答 解：f′（x）=[2x²+（4+a）x+a]e^x；
∵f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，$-\frac{1}{2}$）；
∴f′（x）＜0的解為$（-3，-\frac{1}{2}）$；
即2x²+（4+a）x+a＜0的解為（-3，$-\frac{1}{2}$）；
∴x=-3，-$\frac{1}{2}$是方程2x²+（4+a）x+a=0的兩實根；
∴根據(jù)韋達定理$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4+a}{2}=-3-\frac{1}{2}}\\{\frac{a}{2}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
∴a=3．
故答案為：3．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，一元二次不等式的解和對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系．