Question

5．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-1+2cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期及x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)的最大值；
（2）把f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，求φ的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先利用函數(shù)關(guān)系式的恒等變形把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期，和函數(shù)的最值．
（2）利用（1）求出的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)圖象的平移變換求出函數(shù)是奇函數(shù)的關(guān)系式，最后求出最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-1+2cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$．
由于：$0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以：$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時(shí)，即x=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)取f（x）_max=2．
（2）由于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）若把函數(shù)圖象向左平移φ個(gè)單位，得到f（x）=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$），所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，
即：$2φ+\frac{π}{6}=kπ$（k∈Z），
所以：$φ=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$（k∈Z），
由于：φ＞0，
所以：當(dāng)k=1時(shí)，${φ}_{min}=\frac{5π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)最小正周期公式的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的最值，函數(shù)圖象的平移問(wèn)題．