Question

18．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，點(diǎn)A（a，1）在拋物線上，且|FA|=2
（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與圓x²+（y+1）²=1相切的直線l：y=kx+t交拋物線于不同的兩點(diǎn)M，N若拋物線上一點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；
（II）直線與圓相切，可得圓心到直線的距離等于半徑可得：k²=t²+2t．把直線方程代入拋物線方程并整理得：x²-4kx-4t=0，利用△＞0，可得t的取值范圍．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入拋物線方程解出即可．

解答 解：（I）設(shè)拋物線方程為2py，
∵|FA|=$1+\frac{p}{2}$=2，
解得p=2．
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x²=4y．
（II）∵直線與圓相切，
∴$\frac{|1+t|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=1，化為k²=t²+2t．
把直線方程代入拋物線方程并整理得：x²-4kx-4t=0，
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0，
解得t＞0或t＜-3．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=4k²+2t，
由$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=（4kλ，（4k²+2t）λ），
得 C（4kλ，（4k²+2t）λ），
∵點(diǎn)C在拋物線x²=4y上，
∴16k²λ²=4（4k²+2t）λ，
化為λ=$1+\frac{t}{2{k}^{2}}$=$1+\frac{t}{2{t}^{2}+4t}$=1+$\frac{1}{2t+4}$，
∵t＞0或t＜-3，
∴2t+4＞4 或2t+4＜-2，
∴λ的取值范圍為$（\frac{1}{2}，1）$∪$（1，\frac{5}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題