Question

2．若非零向量f（x）滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$|$\overrightarrow$|，且$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）$，便得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）=0$，進行數(shù)量積的運算，并帶入$|\overrightarrow{a}|=\frac{2\sqrt{2}}{3}|\overrightarrow|$即可得到$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而得出$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{π}{4}$．

解答 解：根據(jù)條件，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）=3{\overrightarrow{a}}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$$-2{\overrightarrow}^{2}$=$\frac{8}{3}{\overrightarrow}^{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}{\overrightarrow}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞-2{\overrightarrow}^{2}=0$；
∴$\frac{8}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞-2=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 考查數(shù)量積的運算及其計算公式，向量夾角的概念及范圍，以及已知三角函數(shù)值求角．