Question

12．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-a|，g（x）=x+3．
（1）當a=2時，求f（x）＜g（x）的解集；
（2）設a＞-1，當x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$），f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．設y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，畫出函數(shù)y的圖象，數(shù)形結合可得結論．
（2）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a-2對x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）都成立．故-$\frac{a}{2}$≥a-2，由此解得a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．
設y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，則y=$\left\{\begin{array}{l}{-5x，x＜\frac{1}{2}}\\{-x-2，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{3x-6，x＞1}\end{array}\right.$，
它的圖象如圖所示：
結合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）．
（2）設a＞-1，且當x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）時，f（x）=1+a，
不等式化為 1+a≤x+3，故 x≥a-2對x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）都成立．
故-$\frac{a}{2}$≥a-2，解得a≤$\frac{4}{3}$，故a的取值范圍為（-1，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合以及轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．