Question

19．已知復(fù)數(shù)z=$\frac{a}{2+i}$+1（a∈R）．
（1）若z∈R，求z；
（2）若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由虛部為0求得a值，則z可求；
（2）由（1）可得z=$\frac{2a}{5}+1-\frac{a}{5}i$，由z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，可得實(shí)部與虛部均大于0，聯(lián)立不等式組求解．

解答 解：（1）∵z=$\frac{a}{2+i}$+1=$\frac{a（2-i）}{（2+i）（2-i）}+1$
=$\frac{2a}{5}-\frac{a}{5}i+1$=$\frac{2a}{5}+1-\frac{a}{5}i$∈R，
∴$-\frac{a}{5}=0$，即a=0．
則z=1；
（2）由（1）知，z=$\frac{2a}{5}+1-\frac{a}{5}i$，
∵z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{5}+1＞0}\\{-\frac{a}{5}＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{5}{2}$＜a＜0．
∴a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}，0$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．