如圖，正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中，E是CC
1的中點，F(xiàn)是AC與BD的交點．
（1）求證：BD⊥A
1F；
（2）求直線BE與平面A
1EF所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD
1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由
•=0，利用向量法能證明BD⊥A
1F．
（2）求出平面A
1EF的法向量，設(shè)直線BE與平面A
1EF所成角為θ，由sinθ=|cos＜
，＞|=
，利用向量法能求出直線BE與平面A
1EF所成角的正弦值．
解答：
（1）證明：
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD
1為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1的棱長為2，
B（2，2，0），D（0，0，0），A
1（2，0，2），F(xiàn)（1，1，0），
=（-2，-2，0），
=（-1，1，-2），
∴
•=2-2+0=0，
∴BD⊥A
1F．
（2）解：B（2，2，0），E（0，2，1），
A
1（2，0，2），F(xiàn)（1，1，0），
=（-2，0，1），
=（-2，2，-1），
=（-1，1，-2），
設(shè)平面A
1EF的法向量
=（x，y，z），
則
，取x=1，得
=（1，1，0），
設(shè)直線BE與平面A
1EF所成角為θ，
sinθ=|cos＜
，＞|=
=
=
．
點評：本題考查線面平行，線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運用，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
求下列各三角函數(shù)值：
（1）tan（-
）；
（2）sin（-390°）；
（3）cos（-
）．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：
．求：
（1）直線PB與與平面ABCD所成角的大�。�
（2）直線PB與平面PDC所成角的大�。�
（3）直線PC與平面PBD所成角的大小．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
F
1，F(xiàn)
2是雙曲線C：
-
=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F
1的直線l與C的左右兩支分別交于AB兩點，若BF
2⊥AB，且線段AB，BF
2，AF
2長度成等差數(shù)列，則e=
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且B
1A=B
1C=B
1B=AC=2．
（Ⅰ）求證：平面B
1AC⊥底面ABC；
（Ⅱ）求B
1C與平面ABB
1A
1所成角的正弦值；
（Ⅲ）若E，F(xiàn)分別是線段A
1C
1，C
1C的中點，問在線段B
1F上是否存在點P，使得EP∥平面ABB
1A
1．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
定長為3的線段MN的兩個端點M、N分別在x軸、y軸上滑動，動點P滿足
=2．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）點P的軌跡設(shè)為曲線T，設(shè)△ABC是曲線T的內(nèi)接三角形，其中A是T與x軸正半軸的交點．直線AB、AC斜率的乘積為-
，求證△ABC的重心G為定點．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
等差數(shù)列{a
n}的前n項和S
n（1）求數(shù)列{
}是等差數(shù)列
（2）若a
1=1，且對任意正整數(shù)n，k（n＞k），都有
+
=2
成立，求數(shù)列{a
n}的通項公式．
（3）記b
n=a（a＞0），求證：
≤
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，△ABC為等邊三角形，SA=AB=1，則球O的表面積為（ �。�
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